Решение уравнений с тремя неизвестными

Системы дифференциальных уравнений 6. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения Пусть дана однородная системагде - постоянные. Будем искать частные решения системы в видегде и k - неопределенные коэффициенты, которые следует найти. Подставляя эти функции в систему, получим Сокращая на e kt придем к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно :. Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевые решения только такие нас интересуютнеобходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:. Раскрывая этот определитель, получим уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением системы дифференциальных уравнений. Отыскав корни этого уравнения и поочередно подставляя их в исходную систему, определим коэффициенты. При этом одно из чисел может быть выбрано произвольно, т. Числа kосуществляющие решение такой задачи, называются собственными значениями матрицы Aа векторы R - собственными векторами этой матрицы. Линейная комбинация этих линейно независимых решений в случае, когда они все различны, фундаментальная система решений с произвольными коэффициентами С 1, С 2, С 3. Найти общее решение системы. Система 5 в данном случае имеет вид:. Характеристическое уравнение имеет корни. Решением этой системы будут, например, числа здесь выбрано произвольно. Решая эту систему, получим. Здесь можно положить и будем иметь. Общее решение данной системы дифференциальных уравнений таково:. Вычисление собственных значений и собственных векторов характеристической матрицы с использованием системы MathServ Для проведения вычислений следует ввести элементы матрицы в форме : {{a 11,a 12.